ECUACIONES CINEMÁTICAS DERIVADAS DEL CALCULO

ECUACIONES CINEMÁTICAS DERIVADAS DEL CALCULO

Esta es una sección optativa en la que se supone que el lector está familiarizado con el cálculo integral. Si usted no ha estudiado aún integración en su curso de cálculo debe saltar esta sección o cubrirla tiempo después de haberse familiarizado con la integración.

La velocidad de una partícula que se mueve en una línea recta puede obtenerse

de conocer cuál es su posición como función del tiempo. Matemáticamente, la velocidad es igual a la derivada de la coordenada respecto del tiempo. También es posible encontrar el desplazamiento de una partícula si se conoce su velocidad como función del tiempo.

En cálculo, este procedimiento se conoce como integración, o determinación de la antiderivada. Gráficamente es equivalente a determinar el área bajo una curva.

 

Suponga que la gráfica de velocidad contra tiempo para una partícula que se

mueve a lo largo del eje x es como se muestra en la figura 2.11 Divídase el intervalo de tiempo tf- t_I, en muchos intervalos pequeños de duración ∆t_n. Según la definición de la velocidad promedio, se ve que el desplazamiento durante cualquier intervalo pequeño, como el sombreado en la figura 2.11, está dado por: 

Donde la suma se toma sobre todos los rectángulos de t_i a tf. Ahora, a medida que cada intervalo se hace más pequeño, el número de términos en la suma aumentan y ésta se acerca a un valor igual al área bajo la gráfica velocidad-tiempo. En consecuencia, en el límite:

 

Advierta que en la suma se ha sustituido la velocidad promedio v_n por la velocidad instantánea Como se puede ver en la figura 2.11, esta aproximación es válida en el límite de intervalos muy pequeños.

La conclusión es que si la gráfica velocidad - tiempo para el movimiento a lo largo de una línea recta se conoce, el desplazamiento durante cualquier intervalo de tiempo puede obtenerse al medir el área bajo la curva correspondiente a ese intervalo de tiempo.

En la ecuación 2.6.1 el límite de la suma se conoce como integral definida y se  escribe: 

Fig. 2.11   Velocidad versus tiempo para una partícula en movimiento a lo largo del eje x. El área del rectángulo sombreado es igual al desplazamiento ∆x en el intervalo de tiempo ∆t_n, mientras que el área total bajo la curva es el desplazamiento total de la partícula.

Si una partícula se mueve con una velocidad constante V₀, como muestra la figura 2.12 , su desplazamiento durante el intervalo de tiempo ∆t es simplemente el área del rectángulo sombreado, es decir,

∆x = v₀ ∆ t                       (cuando v = v₀ = constante)

Como otro ejemplo, considere una partícula moviéndose con una velocidad que

es proporcional a t, como se ve en la figura 2.13. Si se toma v = at, donde a es la

constante de proporcionalidad (la aceleración), se encontrará que el desplazamiento de la partícula durante el intervalo de tiempo t = 0 at = t₁ es el área del triángulo sombreado en la figura 2.13: